For n = 1, there is nothing to do since

ê ê 1 å j = 1  zj ê ê = |z1| = 1 å j = 1  |zj|

For n = 2, the triangle inequality |x+y| £ |x|+|y| implies

ê ê 1 å j = 1  zj ê ê = |z1+z2| £ |z1|+|z2| = 2 å j = 1  |zj|

Now suppos

ê ê n å j = 1  zj ê ê £ n å j = 1  |zj|

holds for n = k. We wish to show that this inequality must hold when n = k+1. For this observe

k+1 å j = 1  zj = æ è k å j = 1  zj ö ø +zk+1

The triangle inequality |x+y| £ |x|+|y| again implies

ê ê k+1 å j = 1  zj ê ê £ ê ê k å j = 1  zj ê ê +|zk+1|

But

ê ê k å j = 1  zj ê ê £ k å j = 1  |zj|

implies

ê ê k å j = 1  zj ê ê +|zk+1| £ k å j = 1  |zj|+|zk+1|

Therefore the preceding inequalities altogether imply

ê ê k+1 å j = 1  zj ê ê £ k+1 å j = 1  |zj|

Thus the theorem holds by the principle of mathematical induction.