Une leçon d'algèbre

(c) droits d'auteur: Alan Selby - Juin 1995.

Lien: [M@TH en Ligne]; [Lexique Mathematique]: www2.ac-lyon.fr/enseigne/math/panorama/panorama.html

Trois notions qui mènent à l'algèbre ou un premier aperçu des mathématiques

Vous possédez bien les trois notions ci-dessous et pouvez les appuyer d'exemples: est-ce suffisant pour vous permettre de maîtriser la façon algébrique d'écrire et de raisonner tout comme vous maîtrisez déjà l'arithmétique? Après tout, n'avons-nous pas déjà fait des apprentissages plus difficiles lorsque nous avons appris à parler, à écrire, à discuter et même à faire de l'arithmétique? A l'école primaire, nous avons maîtrisé les deux premières notions, soit l'habileté de parler des chiffres et des nombres, de même que l'habileté d'avoir recours à des mots ou à de simples formules pour décrire des calculs. Ce sont ces notions que nous explorons dans les paragraphes qui suivent.

• Nous pouvons parler de chiffres et de nombres sans faire d'arithmétique. Ainsi, les chiffres et les nombres peuvent être gros, petits, connus ou non, mesurés, constants ou non, privés, secrets, confidentiels, embarassants ou on peut tou simplement les oublier! Vous pouvez connaître un chiffre, une mesure ou un nombre alors que je l'ignore. Il y a plusieurs façons de parler de chiffres et de nombres. Nous avons tous l'habileté d'en parler. Il s'agit d'une branche des mathématiques qui ne fait pas appel à l'arithmétique. En choeur: faire de l'arithmétique avec minutie n'est qu'un aspect des mathématiques.
  
• Sans faire appel à l'arithmétique, nous pouvons décrire les calculs que nous voulons faire, éviter de faire ou que nous voulons confier à quelqu'un d'autre. La description donne une recette ou une formule à suivre pour effectuer le calcul. La description peut n'être composée que de mots ou utiliser un système de notation (formules). Cette codification vaut mille mots. Le premier service que les mathématiques rendent aux autres disciplines consiste à fournir des descriptions de calculs qui peuvent être faits et répétés aussi souvent que nécessaire. En choeur: faire de l'arithmétique avec minutie n'est qu'un aspect des mathématiques.
  
• Nous pouvons modifier la façon dont on calcule (ou mesure) les nombres et les quantités. Différents calculs ou mesures peuvent donner les mêmes résultats, en accord avec les règles et propriétés que définit l'arithmétique. (On aura recours à un système de notation pour décrire ces règles. Cette codification joue donc ici un deuxième rôle.) Un calcul peut en remplacer un autre, lorsque les deux donnent le même résultat. Cette notion de substitution permet d'obtenir le même résultat à partir de différents calculs et de décrire ces divers calculs. En choeur: faire de l'arithmétique ou utiliser des nombres dans une formule ne constituent qu'un aspect des mathématiques.

Le premier service que les mathématiques rendent aux autres disciplines consiste à décrire les calculs qui peuvent être faits. La création de nouveaux calculs en modifiant des formules existantes (la notion de substitution) permet aux mathématiques de rendre un deuxième service à toutes les disciplines qui utilisent l'arithmétique.

Les notions mathématiques qui succèdent à l'arithmétique sont basées sur la façon algébrique d'écrire et de penser ou raisonner, de même que sur l'habileté à lire avec précision les règles et les définitions. En choeur: faire de l'arithmétique avec minutie n'est qu'un aspect des mathématiques.

Description des calculs

On peut avoir recours aux mots pour donner les instructions qui permettent de calculer des périmètres, des surfaces, des volumes, etc. Dans ce cas-ci, les formules, un système de notation qui décrit les calculs, ne sont pas nécessaires et peuvent même devenir une distraction. Par exemple, on peut calculer la superfice A d'un rectangle en multipliant sa largeur W par sa longueur L. La codification de ce calcul dans la formule A = W x L exige que vous compreniez le rôle des symboles A, W et L.

Les formules sont brèves par rapport aux descriptions en mots, mais elles ne sont pas nécessaires pour les calculs simples. Pour des calculs plus complexes, les mots ne suffisent pas et la codification devient nécessaire, bien qu'il soit plus facile de la voir sur papier que de la lire à voix haute (ou basse). Voici un exemple, la formule du calcul de l'intérêt composé:

A = P*(1+i)ⁿ

Pour utiliser cette formule, il faudra que vous connaissiez la signification ou le rôle des symboles. Dans ce cas-ci, (1+i)**n veut dire que vous devez multiplier le nombre (1+i) par lui-même n fois. Un autre exemple de formule est celui de la solution d'une équation quadratique:

Sans trop s'arrêter à la signification même de cette formule, il est quand même évident qu'il est plus facile de la voir sur papier que de la lire à haute voix. Une image vaut mille mots et il en va de même pour la codification illustrée ci-dessus. Ce système de notation est donc très utile lorsque vient le temps de décrire ou de modifier la façon dont on fait, ou pourrait faire, les calculs.

Deux définitions d'une variable

Première définition: variable sans symboles. On peut parler des nombres et des quantités et identifier ceux qui peuvent ou non varier, de même que ceux qui sont constants, connus ou non, donnés ou confidentiels. Dans ce cas-ci, un nombre ou une quantité qui varie ou dont la valeur change, selon le cas, s'appelle une variable. On peut parler de variables sans avoir recours à un système de notation (lettres ou symboles) tel qu'utilisé en algèbre.

Deuxième définition: variable avec symboles. Les formules utilisent un système de notation (lettres ou symboles) pour représenter des nombres et des quantités. On peut donc en conclure qu'une lettre ou un symbole qui sert à représenter un nombre ou une quantité qui peut varier s'appelle aussi une variable.

Remarque: L'association des lettres et symboles et des nombres et quantités qui varient est si bien intégrée dans la façon algébrique de penser et de raisonner (pour les adeptes des mathématiques) qu'on en arrive à oublier qu'il est possible de parler de variables sans faire référence à des symboles.

Cette leçon est tirée du livre Three Skills For Algebra; (c) droits d'auteur: Alan Selby, 1995.

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