|
Réponses aux problèmes d'arithmétique et d'algèbre
- Mises à jour et
(c) droits d'auteur: Alan Selby, Juin 1995.
I. Matériel élémentaire
Faire les opérations indiquées sans calculatrice; puis vérifier vos
réponses avec une calculatrice.
1. Trouver la somme des trois nombres suivants: 456 + 76 +
312.
Réponse: La somme est 844.
2. Calculer le produit de 176 et 86.
Réponse: Le produit est 15 136.
3. Soustraire 2396 de 4892.
Réponse: le reste de 4892 moins 2396 est
2496.
Vérification: La somme de 2496 et 2396 est
4892.
4. Calculer 1416 divisé par 813 avec 3 décimales.
Réponse: (1416/813) = 1,742 (trois
décimales).
5. Calculer le reste de 2396 moins 4892.
Réponse: 2396-4892 = -(4892-2396) = -(2496) =
-2496.
II Matériel élémentaire (suite)
Simplifier si possible. Souvenez-vous que les opérations entre
parenthèses () ôu [] doivent être faites en premier.
1. A = (4 divisé par 5) divisé par 3.
Réponse: A = (4/5)(1/3) = 4/15
2. B = 4 divisé par (5/3).
Réponse: B = 4(3/5) = 12/5 or 2,4
3. C = 4 multiplié par (5 multiplié par 3).
Réponse: C = 4 multiplié par (15) = 60.
4. D = (4 multiplié par 5) multiplié par 3.
Réponse: D = (20) multiplié par 3 = 60.
5. E = (4 - 5) - 3.
Réponse: E = (-1)-3 = -4.
6. F = 4 - (5 - 3).
Réponse: F = 4-(2) = 2
7. G = 4 - 5 -3.
Réponse: G = 4-(5+3) = 4-8 = -4. .
8. H = racine carrée de 3**2 = racine(3**2)
Réponse: H = 3. Ce nombre est la racine carrée
principale.
L'autre racine est -3. (Cette question est
ambigüe -- si on ne
suit pas la convention que l'expression racine carreé
dénote la
racine principale. On suit cette
convention ici et à -de sous.
Remarque que la notation 3**2 signifie (3 multiplié
par 3) = 9.
9. I = racine carrée de (-3)**2.
Réponse: I = racine carrée de 9 = racine carrée de
3**2 = 3 en
accord avec la convention que la racine carrée
d'une nombre égale
sa racine carrée principale. La r&eponse -3
est mal -- pas bon.
10. J = racine carrée de 4**2.
Réponse: J = 4.
11. K = racine carrée de (4**2+3**2).
Réponse: K = racine carreé de (16 +9) = racine carrée
de (25) = 5.
12. L = racine carrée de (4**2 + (-3)**2).
Réponse: L = racine carrée de 25 = 5.
13. M = (5/4) divisé par [ (8/7) divisé par (9/5) ]
Réponse: M = (5/4) divisé par [(8/7) multiplié par
(9/5)]
Donc M = (5/4) divisé par [(8 multiplié par 9)/(7
multiplié par 5)]
= (5/4) multiplié par [( 7 multiplié par 5)/(8
multiplié par 9)]
Donc M = (5/4) multiplié par (35/72)
= (5 multiplié par 35)/(4 multipli par 72)
= 175/288 = 0,60764 (approximativement).
Remarque: J'aime mieux la réponse exacte (175/288)
mais la réponse
approximitive est accepté today seulement. On
peux donc obtenir
une réponse de plusieurs façons.
14. N = [(5/4) divisé par (8/7)] divisé par (9/5)
Réponse: N = [(5/4) multiplié par (7/8)] multiplié par
(5/9).
Remarque: La division par un rapport (p/q) donne le
même resultat
que multiplié par la réciproque (q/p).
Donc N = [(35)/(32)] multiplié par (5/9) = (35
multiplié par 5)/(32
multiplié par 9) = (175)/(288) = 175/288
again.
15. O = (5/4) multiplié par [ (7/8) multiplié par (9/5) ]
Réponse: O
= (5/4) multiplié par [ (7/8) multiplié par (9/5)
]
= (5/4) multiplié par (7 multiplié par 9)/(8 multiplié
par 5)
= (5 multiplié par (7 multiplié par 9))/(4 multiplié
par (8
multiplié par 5))
= (7 multiplié par 9)/(4 multiplié par 8) = 63/32
Remarque: La lettre O a une apparance trop près du
chiffre 0.
Donc, la
lettre O ne devrait pas servir de symbole representant
un nombre ou
montant. Donc, en posant le problem,
l'utilisation de la lettre O
est une erreur -- je trompe.
16. P = [(5/4) multiplié par (7/8)] multiplié par (9/5)
Réponse: P
= [(5/4) multiplié par (7/8)] multiplié par (9/5)
]
= [(5 multiplié par 7)/(4 multiplié par 8)] multiplié
par (9/5)
= ((5 multiplié par 7) multiplié par 9))/((4 multiplié
par 8) multiplié par
5)
= (7 multiplié par 9)/(4 multiplié par 8) = 63/32
17. Q = (5/4) divisé par (7/8) divisé par (9/5)
Réponse: La signification de lexpression
(5/4) divisé par (7/8) divisé par (9/5) n'est pas
claire.
Peut-être, cette
expression représente le calcul:
[(5/4) divisé par (7/8)] divisé par (9/5) ou le
calcul
(5/4) divisé par [(7/8) divisé par (9/5)].
Chaque expression donne un valeur différent. La
réponse correcte
est de dire que cet problèm est mal posé.
L'expression pour Q n'est
pas bien defini. Ce problèm est un piège.
Ce piège a dèjá fait bien
des victimes.
18. R = racine(16) + racine(9) - racine(25) óu racine(4) =
racine
carrée de 4.
Réponse: R = 4+3 - 5 = 2
19. S = (3,1416)**0
Réponse: S = 1
20. T = (3,1416) - 22/7
Réponse: T = 3,1416 - 3,142857143 = -0,001257143
approximativement. La réponse T n'est pas égale
0. Chacun des deux
nombre 3,1416 et 22/7 est une approximation inexacte
et differente
du nombre pi.
21. U = pi - 3,1416
Est-ce que U = 0?
Réponse: Non, pi n'est pas exactement égale avec
3,1416
Une meillieure approximation de pi est 3,141592654
mais encore
cette approximation n'est pas exacte.
L'expansion décimale du
nombre pi est infinie, sans arrêt, et sans repétition
périodique.
Les mathématiciens on démontr&eactue; au dans la
dix-huitième
siècle que le nombre pi n'est
pas un rapport. Cela veut dire
que pi n'est pas une nombre
égale au p/q óu que p et q sont des
nombres entiers.
Seulement les rapports ont des expansions décimale
fini óu
periodiques. Un nombre a est d&ecimal fini
óu périodique si et
seulement si le nombre égale un rapport
(p/q).
Faison maintenant l'hypothèse que U = pi -
3,1416. Donc U est
approximativement 3,14159264-3,1416 = 0,000007346, un
résultat qui
n'égale pas zero. Mais cette resultat, la
difference, is plus
petit que 1/(10**5).
Le peurcentage d'erreur est plus petite que
0,0003. Par contre,
l'approximation de pi par 22/7 donne une erreur prés
de 0,001257,
ou un peurcentage erreur ´ peu pres 0,04 pour
cent.
22. V = racine(4**2-5**2)
Réponse: V = racine ( 16-25) = racine (-9) Cette
racine carrée
n'est pas
définie (si vous n'avez aucune connaissance de la
racine racine
carrée de -1 et des nombres
complexes.
Exercices de Calculatrice.
III. Mettez votre calculatrice en mode "degree"
1. Trouver óu calcul: sin (90 degrees)
Réponse: 1
2. Trouver óu calcul: sin (180 degrees)
Réponse: 0.
3. Trouver óu calcul: sin (0 degrees)
Réponse: 0
4. Trouver óu calcul: sin (270 degrees)
Réponse: -1
5. Trouver óu calcul: sin (-90 degrees)
Réponse: -1
6. Trouver óu calcul: sin (-720 degrees)
Réponse: 0
7. Trouver óu calcul: cos (90 degrees)
Réponse: 0
8. Trouver óu calcul: cos (180 degrees)
Réponse: -1
9. Trouver óu calcul: cos (360 degrees)
Réponse: 1
10. Trouver óu calcul: cos (0 degrees)
Réponse: 1
11. Trouver óu calcul: cos (-90 degrees)
Réponse: 0
12. Trouver óu calcul: cos (-720 degrees)
Réponse: 1
IV. Mit votre calculatrice en mode "radian"
1. Trouver óu calcul: sin ((pi/2) radians)
Réponse: 1
2. Trouver óu calcul: sin ( pi radians)
Réponse: 0
3. Trouver óu calcul: sin (0 radians)
Réponse: 0
4. Trouver óu calcul: sin ((3/2)pi radians)
Réponse: -1
5. Trouver óu calcul: sin (-pi/2 radians)
Réponse: -1
6. Trouver óu calcul: sin (-4pi radians)
Réponse: 0
7. Trouver óu calcul: cos (pi/2 radians)
Réponse: 0
8. Trouver óu calcul: cos (pi radians)
Réponse: -1
9. Trouver óu calcul: cos (2pi radians)
Réponse: 1
10. Trouver óu calcul: cos (1,5 pi radians)
Réponse: 0
11. Trouver óu calcul: cos (-pi/2 radians)
Réponse: 0
12. Trouver óu calcul: cos (-4pi radians)
Réponse: 1
Caution: les valeures calculer en touche les boutons sine, cosine,
tangent et tout les autres boutons trigonometrique donne des resultat
dependant sur les "units" de mesure.
V. Exercices avec les autres operations d'une
calculatrice.
1. Trouver exp( 2 ln(5)) or e**(2 ln(5))
Réponse: 25 = 5**2 in both cases
2. Trouver 10**( 2 log(5) )
Réponse: 25
3. Trouver 10**( log(25) )
Réponse: 25
4. Trouver ln(exp(6,2)) or ln( e**(6,2))
Réponse: 6,2 in both cases.
5. Trouver la racine sixieme de (16)**12
Réponse: 256 = 16**2
6. Trouver [(16)**12]**(1/6)
Réponse: 256
7. Trouver 1+3+3**2+3**3+3**4+3**5+3**7
Réponse: 2551
8. Trouver [-1+3**7]/[-1+3]
Réponse: 1094
9. Trouver [1-3**7]/[1-3]
Réponse: 1094
10. Trouver 1+(1,06)+(1,06)**2+(1,06)**3
Réponse: 4,374616
11. Trouver [-1+(1,06)**4]/[-1+1,06]
Réponse: 4,374616
12. Trouver [(1,06)**4-1]/[1,06-1]
Réponse: 4,37416
13. Trouver [-1+(1,06)**4]/[0,06]
Réponse: 4,37416
14. Trouver [1+(1,02)**(1)+(1,02)**(2)+(1,02)**(3)+(1,02)**(4)]
multiplié par (1,02)**(-4)
Réponse: 4,80773 (une approximation)
15. Trouver [(1,02)**(5)-1]/[1,02-1] multiplié par (1,02)**(-4)
Réponse: 4,4416 (une approximation)
16. Trouver
1+(1,02)**(-1)+(1,02)**(-2)+(1,02)**(-3)+(1,02)**(-4)
Réponse: 4,4416 (une approximation)
17. Trouver
(1,02)**(-4)+(1,02)**(-3)+(1,02)**(-2)+(1,02)**(-1)+1
Réponse: 4,4416 (une approximation)
18. Trouver [(1/1,02)**(5)-1]/[(1/1,02)**(1)-1]
Réponse: 4,80773 (une approximation)
VI. Plusieur Exemples de Calculation (sans calculatrice)
1. Simplifier, si defini, [(4/5) divisé par (24/35)] divisé par
(2/7)
Réponse: A = [(4/5) multiplié par (35/24)] multiplié
par (7/2)
= [7/6] multiplié par (7/2) = 49/12
2. Simplifier, si defini, (4/5) divisé par [(24/35) divisé par
(2/7)]
Réponse: B = (4/5) divisé par [(24/35) multiplié par
(7/2)]
= (4/5) divisé par [(24 multiplié par 7)/(35 multiplié
par 2)]
= (4/5) multiplié par [(35 multiplié par 2)/(24
multiplié par 7)]
= (4/5) multiplié par [ 35/(12 multiplié par 7)]
= (4 multiplié par 35)/(5 multiplié par (12 multiplié
par 7)
= 4/12
= 1/3 Ce resultat n'est pas la même que
49/12.
3. Simplifie, si defini, (4/5) divisé par (24/35) divisé par
(2/7)
Réponse: Ce expression n'est pas une signification
defini. L'ordre
d'operation (division) doit être indique´ par des
parentheses.
L'order determine la resultat.
VII. Un mélange de problémes d'algébre et d'arithmétique
1. Simplifier (1+x+x**2+x**3)/(x-1)
Réponse: Aucune simplification est possible
(oops).
2. Facteur x**2+5x+6 Réponse: Pairs de facteurs entiere de 6
sont
6 et 1
-6 et -1
2 et 3, et
-2 et -3.
La somme des chiffres 2 et 3 est cinq.
En plus, (x+a)(x+b) = x**2+(a+b)x+ab (pourquoi?)
Donc (x+2)(x+3) = x**2+(2+3)x+(2)(3) = x**2+5x+6
3. Resoudre 0 = (x-1)(2x+4)(3-x). (Il ya trois nombres dans
la
réponse)
Réponse: La produit (x-1)(2x+4)(3-x) peut être 0 si
est seulement
si ou moins un des facteurs est 0.
Le premier facteur x-1 = 0 quand et seulement quand x
= 1.
Le deuxieme facteur 2x+4 = 0 quand et seulement
quand
2x = -4 or x = -2.
Le troisime facteur 3-x = 0 quand et seulement quand x
= 3.
Donc x = 1, -2 or 3 implique une des facteur égale
zero, et donc
leur produit (x-1)(2x+4)(3-x) = 0 aussi.
4. Facteur x**3-x
Réponse: x**3-x = x (x**2 -1) = x(x-1)(x+1)
5. Simplifier (x+1)(x+3x**2)-[(x+1)x+(x+1)3x**2)]
Réponse: (Yuck!):
(x+1)(x+3x**2)-[(x+1)x+(x+1)3x**2)]
= [(x+1)(x+3x**2)-(x+1)[x+3x**2)]
= 0
6. Simplifier 13**2-5**2-(13+5)(13-5)
Réponse: 0
7. Simplifier 7- racine(3**2+4**2)
Réponse: 7 - racine(3**2+4**2)
= 7 -racine(9+16) = 7 -racine(25) = 7-5 = 2
8. Simplifier [(3/7)**13 multiplié par
( (4x**2)/((3**2 multiplié par 7**3)**5]
Réponse:
[(3/7)**13 multiplié par ( (4x**2)/(3**2 multiplié par 7**3) )**5]
= [(3**13/7**13) multiplié par ( (4**5x**10)/(3**10
multiplié par
7**15)]
= ((3**13 multiplié par 4**5 multiplié par
x**10)/(7**13 multiplié
par 3**10 multiplié par
7**15)
= ((3**3 multiplié par 4**5 multiplié par
x**10)/(7**28)
= ( 3**3 multiplié par 4**5 multiplié par
x**10)(7**28)
9. Simplifier [(9x**2+3)(4+4x+4x**2)][(x-1)(2x+2)-2x**2+2)]
Réponse:
[(9x**2+3)(4+4x+4x**2)][(x-1)(2x+2)-2x**2+2)]
= [(9x**2+3)(4+4x+4x**2)][(x-1)(x+1)2-2x**2+2)]
= [(9x**2+3)(4+4x+4x**2)][(x**2-1)2-2x**2+2)]
[(9x**2+3)(4+4x+4x**2)][0] = 0
10. Calculer f(4) si f(x) = racine(25-x**2).
Réponse: f(4) = racine(25-4**2) = racine(25-16) =
racine(9) = 3
11. Trouver les racines des equationes: (x,y) si x+y = pi et y-x =
1.
Réponse: (Il y a plusieur facon de trouver les
racines).
pi+1 = (x+y)+(y-x) = 2y.
Donc 2y = pi+1 et puis y = (pi+1)/2.
y-x = 1 donne y = 1+x or y-1 = x. Donc,
x = y - 1 = (pi+1)/2 - 1
= (pi+1)/2 -2/2 = (pi+1-2)/2 = (pi-1)/2.
Donc (x,y) = ( (pi-1)/2 , (pi+1)/2 )
12. Exprimer avec des exposant positifs seulement:
[2 multiplié par 3**2multiplié par
y**3z**(-3)t**3)**(-2)]
multiplié par
[3**3x**4y**(-5)]**2
Réponse: A
= [2 multiplié par 3**2multiplié par
y**3z**(-3)t**3)**(-2)]
multiplié par [3**3x**4y**(-5)]**2
= [2**(-2) multiplié par 3**(-4)multiplié par
y**(-6)z**6t**(-6)]
multiplié par [3**6x**8y**(-10)]
= [z**6/(2**(2) 3**(4) y**(6) t**6)]
[3**6x**8/(y**10)]
= (z**6 3**6 x**8)/(2**(2) 3**(4) y**(16) t**6)
= (z**6 3**2 x**8)/(2**(2) y**(16) t**6)
13. Trouver x if (x-10)(x-3) = 0 et x > 4
Réponse: L'equation (x-10)(x-3) = 0 a deux racine: x =
10 et x = 3.
Mais cet equation a seulement une racine plus grand
que 4, et ce
racine est x = 10. Donc x = 10.
14. Trouver x si 4 = 1/(x+1)
Réponse: 4 = 1/(x+1) est vrai quand et seulement quand
4(x+1) = 1,
ou
x+1 = 1/4. Ce dernier equation est vrai quand et
seulement quand x
= (1/4)-1 ou x = -3/4.
Verification: 1/((-3/4)+1) = 1/(1/4)
= 1 divisé par 1/4 = 1 multiplié par 4/1 = 4
15. Trouver z if z = 2x+3, t = 3**2, x = 4t+1 et y = y**2
Premiere Réponse: t = 3**2 gives x = 4t+1 = 4(3**2)+1
et donc z =
2x+3 = 2(4(3**2)+1)+3.
Simplification donne z = 2(4(9)+1)+3 = 2(36+1)+3 =
2(37)+3 = 74+3 =
77.
Deuxieme Réponse: z = 2x+3 = 2(4t+1)+3 =
2(4(3**2)+1)+3 = . . . = 77
comme avant.
Third Réponse: z = 2x+3 = 2(4t+1)+3 = 8t+2+3 =
8t+5
= 8*9+5 = 72+5 = 77
VIII. Utilisation de formulaire de somme
1. La somme des puissance cubique des entieres 1 Ã 4 est S =
1+2**3+3**3+4**3. Trouver le valeur de la nombre
S.
Réponse: S = 1+8+27+64 = 100
2. Calculer [(1/2)4(4+1)]**2 = [(1/2)4(5)]**2
Réponse: [(1/2)4(4+1)]**2 = [(1/2)4(5)]**2 = [10]**2 =
100.
3. Si n est un entiere positif, alors que la somme des
puissances
cubiques des entieres 1 Ã n
est S(n) = [(1/2)n(n+1)]**2.
Pourquoi est une debte intellectuel.
Utiliser ce formule et
resoudre les problemes
suivantes.
la somme de puissance cubique
des entieres 1 Ã 5
Réponse: S(5) = [(1/2)5(6)]**2
= 15**2 = 225
la somme de puissance cubique
des entieres 1 Ã 15
Réponse: S(15) =
[(1/2)15(16)]**2 = [15(8)]**2 = [120]**2 =
14400
la somme de puissance cubique
des entieres 1 Ã 30
Réponse: S(30) =
[(1/2)30(31)]**2 = [15(31)]**2 = [465]**2 =
216225
Dans ce dernier probleme, laquel requis la plus petite montant de
travail: l'utilisation de la formule S(n) =
[(1/2)n(n+1)]**2 ou l'addition direct des 30
cubiques 1**3, 2**3, . . . , 29**3, 30**3. Réponse: C'est claire,
n'est pas?
|
|
Teachers & Tutors: Site pages offer better or best practices for providing skills -
simpler than expected & comprehensive but for exercises. For your charges, your duty is to study them alone or in
groups and develop skill building exercises & activities to share. Start now. The effort here is the best I can do.
Others are welcome to refine or exceed it. Please do.
Secondary
Mathematics for Ages 11+, A Practical Approach for home-tutoring or -schooling, or for schools & colleges
with local curriculum control. Study how to include site content - its skill development how-TOs and innovations
into present or future lesson plans - some reading required.
Road
Safety Messages and Questions: When and why should you face
traffic when walking along a road or cycle path? Is it a good
idea to hang limbs outside of cars etc? What gives more
protection in a crash: a car, motorbike or bicycle?
See too, the BBC-Belgium story Texting and
Driving - texting & the impossible test - the article links to a gruesome utube video on the subject
The Logic of Injustice:
How Texas sent
an innocent man to his death - The wrong Carlos. Some judgments are irreversible. Procescution: Where and when prosectors play to win rather than for
justice, guilt beyond a reasonable doubt goes unrespected due to prosecutors who putting winning
first, those innocence before the law may be convicted. Some procescutors offices in continuing to accuse after a pardon
due to reasonable doubt or innocent being shown, may sucessfully oppose compensaton for false convictions
by asserting a pardon individual is still under suspicion. Then the pardoned individual or the latter's estate
is not compensation for years or decade
of improper or false imprisonment, or for execution. Site chapters on Logic
and some in Pattern
Based Reason may slowly lead to greater precision in reading, applying and
writing laws.
May 2012, Composition Starting:
Pre-School and Primary Mathematics - Quantitative Skills, An
Intellectual View, Feedback Welcome:
The 8 Most Popular Site Inlinks
Parent Center: Help your child or teen
learn:
Parent-friendly
Work Booklets for ages 3+ to 13 Use these or others to check
or build skills. Other booklets are available but these booklets
allow parents unsure of themselves in mathematics to help their
children. The selection acquired in Canada is published in the
USA. So it has a US orientation. In retrospect, the selection
shows parents what to check with the booklets or by other ways,
the choice is theirs. But in retrospect, the selection does not
cover integral and fractions liquid weights and measures - ask
the publishers to correct that! For ages 9 to 12 say, parents may
compensate by showing boys and girls how to use weights or mass,
and further measures in food preparation. Beyond that children
may be shown how to measure and calculate angles, lengths and
areas [proportional amounts too] directly or by using maps and
plans drawns to scale. Learning how to gather and measure all the
ingredients, pots and pans for a dish or a meal, along with
cleaning up sets the stage for like activities or experiments in
science courses, and in developing organizational skills,
gives boys and girls a head start. Good luck. At the other
extreme, more comprehensive than light, if your motto is
McCainian: drill, drill, drill then Toronto
mathematician and actor John Mighton's jump math organization has jump math
workbooks for at least grades 3 to 8 for at-home and in-school
use - training sessions for teachers available. Jump math has
been expanding to cover older students. Jump Math Samples: plus
Fractions for
Grades 3-4 & Grades 5-6 [Read] Free Resources grades 1 to 8
[unread - likely to be good]. and
Mathematics
Skills For Ages 3 to 14 - technical!
Skills with take
home value - A few ideas
Basic skills include
time-date-calendar Matters; money matters; map, plan and
scale diagram matters;counting, measuring and figuring;
decision making with logic and likelyhood; being careful and
being aware of the domino effect of mistakes; reading and
writing with precision.
Is your child able to add, subtract and multiply amounts
of money, work with fractions, work with clocks and calendars,
work with maps and plans, and measure length, weight-mass and
volume? Schools may promote your son or daughter without
providing basic skills in reading, writing and
arithmetic.
Arithmetic
and Number Theory Skills
Algebra
Starter Lessons
Geometry
- maps plans trigonometry vectors
More
Algebra
70
Calculus Starter Lessons
Calculus Lessons Elsewhere:
-
How to Ace Calculus: Street Wise Guide - Mostly
Text.
-
Flash
Video for Calculus Phobics
They cover basic topics in ways likely to complement your
notes, your textbooks and site material. When Goldilocks
trespassed in the house of the three bears, she found three bowls
of porridge, two not to her liking, and one just right. Different
bears have different tastes. As invited guest here and elsewhere,
if one or more explanations is not to liking, try another. It may
be better or just right.
Unsolicited Advice
Learning to do and high marks if it comes to easy is often
deceptive - light rather than deep. For that reason, students
with learning difficulties determined not to let it get in their
way may go deeper and farther than those with none. High marks,
if the come easy, may be deceptive - provide a too light and not
a deep mastery. That could have been your problem in secondary
school, one that leads to comprehension shock or difficulties in
calculus and more generally in the first year of college. Bon
Appetite.
|
|